2008年12月16日星期二
多圆锥投影
（一）多圆锥投影的概念
在切圆锥投影中，离开标准纬线愈远，变形愈大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边缘纬线处将产生相当大的变形。因此，采用双标准纬线圆锥投影比采用单标准纬线圆锥投影变形要小些。如果有更多的标准纬线，则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立起来的。假设有许多圆锥与地球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影于这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥剪开展成平面，如图2-48所示。由于圆锥顶点不是一个，所以纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上，除中央经线为直线外，其余的经线投影为对称于中央经线的曲线。凡是经纬线形式符合上述特征的，均称为多圆锥投影。由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它常用于编制世界地图。
（二）普通多圆锥投影
普通多圆锥投影除了中央经线和每一条纬线的长度比等于1外，即m0=1，n=1其余经线长度比均大于1。这个投影在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经线愈远，变形愈大。这个投影适于作南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影制作美国海岸附近地区的地图。
普通多圆锥投影的另一个用途是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央的经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接，将这样的图形贴于预制的球胎上，就成为一个地球仪。
（三）改良多圆锥投影
改良多圆锥投影是由普通多圆锥改良而成的。过去长时期国际上用它编绘百万分之一分幅地图，这是由1909年伦敦国际地理学会议决定的，故又名国际百万分之一地图投影。
国际百万分之一地图，在纬度0°—60°范围内，按纬差4°、经差6°分幅；在纬度60°—76°范围内，按纬差4°、经差12°分幅；在纬度76°—88°范围内按纬差4°、经差24°分幅。每幅单独投影。每幅图的南北两条边纬线是同轴圆弧，其圆心位于中央经线的延长线上。将这两条纬线按经差1°等分，过相应分点连成的直线即为各条经线。其他纬线是4等分各经线后，将相应分点联成的平滑曲线。
这个投影南北两条边纬线长度比等于1，其余纬线长度比均小于1，以中央纬线长度比为最小。在按经差6°的分幅中，距中央经线经差为±2°（在按经差12°的分幅中，距中央经线经差为±4°，在按经差24°的分幅中，距中央经线经差为±8°）的经线长度比等于1，中间经线长度比小于1，边缘经线长度比大于1。这种投影按变形性质来说属任意投影。由于每一幅图包括的范围不大，因而变形很小。在我国范围内长度变形不超过0.06％，面积变形不超过0.12％，角度最大变形不超过5’。故总的来说，这种投影精度还是很高的。但因它不具有等角条件，故现已被等角圆锥投影所取代。
（四）等差分纬线多圆锥投影
这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。赤道和中央经线是互相垂直的直线，其他纬线为对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线的延长线上；其他经线为对称于中央经线的曲线，各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩短，按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。
这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10％以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部；中央经线和纬度±44°交点处没有角度变形，我国境内绝大部分地区的角度最大变形在10°以内，少数地区在13°左右。地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。
1976年地图出版社又拟定了另外一种不等分纬线多圆锥投影——正切差分纬线多圆锥投影，这个投影的经线间隔，由中央经线向东西两侧按与中央经线经差的正切函数递减。正切函数随角度增加递增速度越来越快。因此，正切差分纬线多圆锥投影的经线间隔，在中央经线附近变化较小，在远离中央经线的地方，变化较大。地图出版社1981年出版的1：1400万世界全图采用了这个投影。
在切圆锥投影中，离开标准纬线愈远，变形愈大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边缘纬线处将产生相当大的变形。因此，采用双标准纬线圆锥投影比采用单标准纬线圆锥投影变形要小些。如果有更多的标准纬线，则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立起来的。假设有许多圆锥与地球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影于这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥剪开展成平面，如图2-48所示。由于圆锥顶点不是一个，所以纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上，除中央经线为直线外，其余的经线投影为对称于中央经线的曲线。凡是经纬线形式符合上述特征的，均称为多圆锥投影。由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它常用于编制世界地图。
（二）普通多圆锥投影
普通多圆锥投影除了中央经线和每一条纬线的长度比等于1外，即m0=1，n=1其余经线长度比均大于1。这个投影在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经线愈远，变形愈大。这个投影适于作南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影制作美国海岸附近地区的地图。
普通多圆锥投影的另一个用途是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央的经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接，将这样的图形贴于预制的球胎上，就成为一个地球仪。
（三）改良多圆锥投影
改良多圆锥投影是由普通多圆锥改良而成的。过去长时期国际上用它编绘百万分之一分幅地图，这是由1909年伦敦国际地理学会议决定的，故又名国际百万分之一地图投影。
国际百万分之一地图，在纬度0°—60°范围内，按纬差4°、经差6°分幅；在纬度60°—76°范围内，按纬差4°、经差12°分幅；在纬度76°—88°范围内按纬差4°、经差24°分幅。每幅单独投影。每幅图的南北两条边纬线是同轴圆弧，其圆心位于中央经线的延长线上。将这两条纬线按经差1°等分，过相应分点连成的直线即为各条经线。其他纬线是4等分各经线后，将相应分点联成的平滑曲线。
这个投影南北两条边纬线长度比等于1，其余纬线长度比均小于1，以中央纬线长度比为最小。在按经差6°的分幅中，距中央经线经差为±2°（在按经差12°的分幅中，距中央经线经差为±4°，在按经差24°的分幅中，距中央经线经差为±8°）的经线长度比等于1，中间经线长度比小于1，边缘经线长度比大于1。这种投影按变形性质来说属任意投影。由于每一幅图包括的范围不大，因而变形很小。在我国范围内长度变形不超过0.06％，面积变形不超过0.12％，角度最大变形不超过5’。故总的来说，这种投影精度还是很高的。但因它不具有等角条件，故现已被等角圆锥投影所取代。
（四）等差分纬线多圆锥投影
这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。赤道和中央经线是互相垂直的直线，其他纬线为对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线的延长线上；其他经线为对称于中央经线的曲线，各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩短，按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。
这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10％以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部；中央经线和纬度±44°交点处没有角度变形，我国境内绝大部分地区的角度最大变形在10°以内，少数地区在13°左右。地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。
1976年地图出版社又拟定了另外一种不等分纬线多圆锥投影——正切差分纬线多圆锥投影，这个投影的经线间隔，由中央经线向东西两侧按与中央经线经差的正切函数递减。正切函数随角度增加递增速度越来越快。因此，正切差分纬线多圆锥投影的经线间隔，在中央经线附近变化较小，在远离中央经线的地方，变化较大。地图出版社1981年出版的1：1400万世界全图采用了这个投影。
2008年12月14日星期日
地图投影的中央经线不一定是中央子午线
地图投影的中央经线不一定是中央子午线，因为在很多时候如果采用中央子午线作为中央经线投影后会出现大陆部分不完整的情况，因此，在欧洲经常采用东经10度的经线作为中央经线，如爱凯特、摩尔威德地图投影等。对于国家、地区的地图投影来讲，把中央子午线作为投影的中央经线的可能性更是不大。
2008年12月3日星期三
高斯投影及其分带方法
高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种“等角横切圆柱投影”。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
一、只谈比较常用的几种：“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”
1． 墨卡托(Mercator)投影
1.1 墨卡托投影简介
墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定， 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。
1.2 墨卡托投影坐标系
取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。
2． 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影
2.1 高斯-克吕格投影简介
高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种“等角横切圆柱投影”。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
高斯一克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，并能在图上进行精确的量测计算。
按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带，这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带，以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。
我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用六度带高斯-克吕格投影，三度带高斯-克吕格投影多用于大比例尺测图，如城建坐标多采用三度带的高斯-克吕格投影。
2.2 UTM投影简介
UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是一种“等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。
UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。
我国的卫星影像资料常采用UTM投影。
2.3 高斯-克吕格投影与UTM投影异同
高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
2.4 高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系
高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，通常在横轴坐标前加上带号，如(4231898m，21655933m)，其中21即为带号。
二、分带方法
1．我国采用6度分带和3度分带：
1∶2.5万及1∶5万的地形图采用6度分带投影，即经差为6度，从零度子午线开始，自西向东每个经差6度为一投影带，全球共分60个带，用1，2，3，4，5，……表示．即东经0～6度为第一带，其中央经线的经度为东经3度，东经6～12度为第二带，其中央经线的经度为9度。
1∶1万的地形图采用3度分带，从东经1.5度的经线开始，每隔3度为一带，用1，2，3，……表示，全球共划分120个投影带，即东经1.5～ 4.5度为第1带，其中央经线的经度为东经3度，东经4.5～7.5度为第2带，其中央经线的经度为东经6度．我省位于东经113度－东经120度之间，跨第38、39、40共计3个带，其中东经115.5度以西为第38带，其中央经线为东经114度；东经115.5～118.5度为39带，其中央经线为东经117度；东经118.5度以东到山海关为40带，其中央经线为东经120度。
地形图上公里网横坐标前2位就是带号，例如：1∶5万地形图上的横坐标为20345486，其中20即为带号，345486为横坐标值。
2．当地中央经线经度的计算
六度带中央经线经度的计算：当地中央经线经度＝６°×当地带号－３°，例如：地形图上的横坐标为２０３４５，其所处的六度带的中央经线经度为：６°×２０－３°＝１１７°（适用于１∶２．５万和１∶５万地形图）。
三度带中央经线经度的计算：中央经线经度＝３°×当地带号（适用于１∶１万地形图）。
一、只谈比较常用的几种：“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”
1． 墨卡托(Mercator)投影
1.1 墨卡托投影简介
墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定， 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。
1.2 墨卡托投影坐标系
取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。
2． 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影
2.1 高斯-克吕格投影简介
高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种“等角横切圆柱投影”。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
高斯一克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，并能在图上进行精确的量测计算。
按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带，这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带，以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。
我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用六度带高斯-克吕格投影，三度带高斯-克吕格投影多用于大比例尺测图，如城建坐标多采用三度带的高斯-克吕格投影。
2.2 UTM投影简介
UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是一种“等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。
UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。
我国的卫星影像资料常采用UTM投影。
2.3 高斯-克吕格投影与UTM投影异同
高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
2.4 高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系
高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，通常在横轴坐标前加上带号，如(4231898m，21655933m)，其中21即为带号。
二、分带方法
1．我国采用6度分带和3度分带：
1∶2.5万及1∶5万的地形图采用6度分带投影，即经差为6度，从零度子午线开始，自西向东每个经差6度为一投影带，全球共分60个带，用1，2，3，4，5，……表示．即东经0～6度为第一带，其中央经线的经度为东经3度，东经6～12度为第二带，其中央经线的经度为9度。
1∶1万的地形图采用3度分带，从东经1.5度的经线开始，每隔3度为一带，用1，2，3，……表示，全球共划分120个投影带，即东经1.5～ 4.5度为第1带，其中央经线的经度为东经3度，东经4.5～7.5度为第2带，其中央经线的经度为东经6度．我省位于东经113度－东经120度之间，跨第38、39、40共计3个带，其中东经115.5度以西为第38带，其中央经线为东经114度；东经115.5～118.5度为39带，其中央经线为东经117度；东经118.5度以东到山海关为40带，其中央经线为东经120度。
地形图上公里网横坐标前2位就是带号，例如：1∶5万地形图上的横坐标为20345486，其中20即为带号，345486为横坐标值。
2．当地中央经线经度的计算
六度带中央经线经度的计算：当地中央经线经度＝６°×当地带号－３°，例如：地形图上的横坐标为２０３４５，其所处的六度带的中央经线经度为：６°×２０－３°＝１１７°（适用于１∶２．５万和１∶５万地形图）。
三度带中央经线经度的计算：中央经线经度＝３°×当地带号（适用于１∶１万地形图）。
多圆锥投影
多圆锥投影 polyconic projection
（一）多圆锥投影的概念 在切圆锥投影中，离开标准纬线愈远，变形愈大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边缘纬线处将产生相当大的变形。因此，采用双标准纬线圆锥投影比采用单标准纬线圆锥投影变形要小些。如果有更多的标准纬线，则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立起来的。假设有许多圆锥与地球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影于这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥剪开展成平面，如图2-48所示。由于圆锥顶点不是一个，所以纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上，除中央经线为直线外，其余的经线投影为对称于中央经线的曲线。凡是经纬线形式符合上述特征的，均称为多圆锥投影。由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它常用于编制世界地图。
（二）普通多圆锥投影 普通多圆锥投影除了中央经线和每一条纬线的长度比等于1外，即m0=1，n=1其余经线长度比均大于1。这个投影在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经线愈远，变形愈大。这个投影适于作南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影制作美国海岸附近地区的地图。 普通多圆锥投影的另一个用途是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央的经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接，将这样的图形贴于预制的球胎上，就成为一个地球仪。
（三）改良多圆锥投影 改良多圆锥投影是由普通多圆锥改良而成的。过去长时期国际上用它编绘百万分之一分幅地图，这是由1909年伦敦国际地理学会议决定的，故又名国际百万分之一地图投影。国际百万分之一地图，在纬度0°—60°范围内，按纬差4°、经差6°分幅；在纬度60°—76°范围内，按纬差4°、经差12°分幅；在纬度76°—88°范围内按纬差4°、经差24°分幅。每幅单独投影。每幅图的南北两条边纬线是同轴圆弧，其圆心位于中央经线的延长线上。将这两条纬线按经差1°等分，过相应分点连成的直线即为各条经线。其他纬线是4等分各经线后，将相应分点联成的平滑曲线。这个投影南北两条边纬线长度比等于1，其余纬线长度比均小于1，以中央纬线长度比为最小。在按经差6°的分幅中，距中央经线经差为±2°（在按经差12°的分幅中，距中央经线经差为±4°，在按经差24°的分幅中，距中央经线经差为±8°）的经线长度比等于1，中间经线长度比小于1，边缘经线长度比大于1。这种投影按变形性质来说属任意投影。由于每一幅图包括的范围不大，因而变形很小。在我国范围内长度变形不超过0.06％，面积变形不超过0.12％，角度最大变形不超过5’。故总的来说，这种投影精度还是很高的。但因它不具有等角条件，故现已被等角圆锥投影所取代。
（四）等差分纬线多圆锥投影 这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。赤道和中央经线是互相垂直的直线，其他纬线为对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线的延长线上；其他经线为对称于中央经线的曲线，各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩短，按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。 这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10％以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部；中央经线和纬度±44°交点处没有角度变形，我国境内绝大部分地区的角度最大变形在10°以内，少数地区在13°左右。地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。 1976年地图出版社又拟定了另外一种不等分纬线多圆锥投影——正切差分纬线多圆锥投影，这个投影的经线间隔，由中央经线向东西两侧按与中央经线经差的正切函数递减。正切函数随角度增加递增速度越来越快。因此，正切差分纬线多圆锥投影的经线间隔，在中央经线附近变化较小，在远离中央经线的地方，变化较大。地图出版社1981年出版的1：1400万世界全图采用了这个投影。
http://www.hudong.com/wiki/%E5%A4%9A%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%8A%95%E5%BD%B1
（一）多圆锥投影的概念 在切圆锥投影中，离开标准纬线愈远，变形愈大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边缘纬线处将产生相当大的变形。因此，采用双标准纬线圆锥投影比采用单标准纬线圆锥投影变形要小些。如果有更多的标准纬线，则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立起来的。假设有许多圆锥与地球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影于这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥剪开展成平面，如图2-48所示。由于圆锥顶点不是一个，所以纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上，除中央经线为直线外，其余的经线投影为对称于中央经线的曲线。凡是经纬线形式符合上述特征的，均称为多圆锥投影。由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它常用于编制世界地图。
（二）普通多圆锥投影 普通多圆锥投影除了中央经线和每一条纬线的长度比等于1外，即m0=1，n=1其余经线长度比均大于1。这个投影在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经线愈远，变形愈大。这个投影适于作南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影制作美国海岸附近地区的地图。 普通多圆锥投影的另一个用途是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央的经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接，将这样的图形贴于预制的球胎上，就成为一个地球仪。
（三）改良多圆锥投影 改良多圆锥投影是由普通多圆锥改良而成的。过去长时期国际上用它编绘百万分之一分幅地图，这是由1909年伦敦国际地理学会议决定的，故又名国际百万分之一地图投影。国际百万分之一地图，在纬度0°—60°范围内，按纬差4°、经差6°分幅；在纬度60°—76°范围内，按纬差4°、经差12°分幅；在纬度76°—88°范围内按纬差4°、经差24°分幅。每幅单独投影。每幅图的南北两条边纬线是同轴圆弧，其圆心位于中央经线的延长线上。将这两条纬线按经差1°等分，过相应分点连成的直线即为各条经线。其他纬线是4等分各经线后，将相应分点联成的平滑曲线。这个投影南北两条边纬线长度比等于1，其余纬线长度比均小于1，以中央纬线长度比为最小。在按经差6°的分幅中，距中央经线经差为±2°（在按经差12°的分幅中，距中央经线经差为±4°，在按经差24°的分幅中，距中央经线经差为±8°）的经线长度比等于1，中间经线长度比小于1，边缘经线长度比大于1。这种投影按变形性质来说属任意投影。由于每一幅图包括的范围不大，因而变形很小。在我国范围内长度变形不超过0.06％，面积变形不超过0.12％，角度最大变形不超过5’。故总的来说，这种投影精度还是很高的。但因它不具有等角条件，故现已被等角圆锥投影所取代。
（四）等差分纬线多圆锥投影 这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。赤道和中央经线是互相垂直的直线，其他纬线为对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线的延长线上；其他经线为对称于中央经线的曲线，各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩短，按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。 这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10％以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部；中央经线和纬度±44°交点处没有角度变形，我国境内绝大部分地区的角度最大变形在10°以内，少数地区在13°左右。地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。 1976年地图出版社又拟定了另外一种不等分纬线多圆锥投影——正切差分纬线多圆锥投影，这个投影的经线间隔，由中央经线向东西两侧按与中央经线经差的正切函数递减。正切函数随角度增加递增速度越来越快。因此，正切差分纬线多圆锥投影的经线间隔，在中央经线附近变化较小，在远离中央经线的地方，变化较大。地图出版社1981年出版的1：1400万世界全图采用了这个投影。
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2008年11月28日星期五
纬线圈半径和卯酉圈半径关系
r=N×CosB
这在数学上是个基本的公式，但我手上没有微分几何的书，具体叫什么公式我不记得了．公式的直观解释为：
曲率半径在几何意义上就是和所考虑的曲线有相同曲率的圆的半径，而卯酉圈是过A点的法线方向的截面曲线，纬圈在A点和卯酉圈有相同的切向量，那么我们直观的理解为对应着一个球面，而卯酉圈和纬圈都对应着球面上的截面，法线方向的截面曲线即对应着卯酉圈为一个过球心的大圆，而纬圈不能过圆心，公式显然得到了证明。
这在数学上是个基本的公式，但我手上没有微分几何的书，具体叫什么公式我不记得了．公式的直观解释为：
曲率半径在几何意义上就是和所考虑的曲线有相同曲率的圆的半径，而卯酉圈是过A点的法线方向的截面曲线，纬圈在A点和卯酉圈有相同的切向量，那么我们直观的理解为对应着一个球面，而卯酉圈和纬圈都对应着球面上的截面，法线方向的截面曲线即对应着卯酉圈为一个过球心的大圆，而纬圈不能过圆心，公式显然得到了证明。
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